Производная (x^2-1)/(x^3+1)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

 2    
x  - 1
------
 3    
x  + 1

$$\frac{x^{2} - 1}{x^{3} + 1}$$

Подробное решение

[TeX]

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{2} - 1$ и $g{\left (x \right )} = x^{3} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{2} - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{3} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      В результате: $3 x^{2}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} \left(- 3 x^{2} \left(x^{2} - 1\right) + 2 x \left(x^{3} + 1\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} \left(2 x^{3} + 3 x \left(- x^{2} + 1\right) + 2\right)$

---

Ответ:

$\frac{x}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} \left(2 x^{3} + 3 x \left(- x^{2} + 1\right) + 2\right)$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

            2 / 2    \
 2*x     3*x *\x  - 1/
------ - -------------
 3                 2  
x  + 1     / 3    \   
           \x  + 1/   

$$- \frac{3 x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{3} + 1}$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

  /        3        /      2\      4 /      2\\
  |     6*x     3*x*\-1 + x /   9*x *\-1 + x /|
2*|1 - ------ - ------------- + --------------|
  |         3            3                2   |
  |    1 + x        1 + x         /     3\    |
  \                               \1 + x /    /
-----------------------------------------------
                          3                    
                     1 + x                     

$$\frac{1}{x^{3} + 1} \left(\frac{18 x^{4} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} - \frac{12 x^{3}}{x^{3} + 1} - \frac{6 x \left(x^{2} - 1\right)}{x^{3} + 1} + 2\right)$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                5        6 /      2\       3 /      2\\
  |        2   18*x     27*x *\-1 + x /   18*x *\-1 + x /|
6*|1 - 10*x  + ------ - --------------- + ---------------|
  |                 3              2                3    |
  |            1 + x       /     3\            1 + x     |
  \                        \1 + x /                      /
----------------------------------------------------------
                                2                         
                        /     3\                          
                        \1 + x /                          

$$\frac{1}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} \left(- \frac{162 x^{6} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{3} + 1\right)^{2}} + \frac{108 x^{5}}{x^{3} + 1} + \frac{108 x^{3} \left(x^{2} - 1\right)}{x^{3} + 1} - 60 x^{2} + 6\right)$$

Упростить