2tg^2x-tgx-3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2tg^2x-tgx-3=0

Вы ввели

     2                    
2*tan (x) - tan(x) - 3 = 0

$$2 \tan^{2}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)} - 3 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$2 \tan^{2}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)} - 3 = 0$$
преобразуем
$$2 \tan^{2}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)} - 3 = 0$$
$$\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)} - 3\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \tan{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -1$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (2) * (-3) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{3}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$

Быстрый ответ

     -pi 
x1 = ----
      4  

$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$

x2 = atan(3/2)

$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi            
0 - -- + atan(3/2)
    4             

$$\left(- \frac{\pi}{4} + 0\right) + \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$

=

  pi            
- -- + atan(3/2)
  4             

$$- \frac{\pi}{4} + \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$

произведение

  -pi           
1*----*atan(3/2)
   4            

$$1 \left(- \frac{\pi}{4}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$

=

-pi*atan(3/2) 
--------------
      4       

$$- \frac{\pi \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{2} \right)}}{4}$$

Численный ответ

x1 = 68.329640215578

x2 = -41.6261026600648

x3 = -39.85791077342

x4 = -30.4331328126506

x5 = 30.6305283725005

x6 = 11.7809724509617

x7 = 10.4075716840167

x8 = 115.453530019425

x9 = -24.149947505471

x10 = 8.63937979737193

x11 = -17.8667621982914

x12 = -7488.57409243482

x13 = 48.1066835270942

x14 = 92.0889806773513

x15 = 63.8146467950432

x16 = -35.3429173528852

x17 = -71.2738373093179

x18 = 27.4889357189107

x19 = -99.5481711916261

x20 = 24.3473430653209

x21 = 19.8323496447861

x22 = 46.3384916404494

x23 = 4.12438637683712

x24 = -69.9004365423729

x25 = -44.7676953136546

x26 = 84.037603483527

x27 = 90.3207887907066

x28 = -79.3252145031423

x29 = 5.49778714378214

x30 = -63.6172512351933

x31 = 52.621676947629

x32 = -1590.43128087983

x33 = 36.9137136796801

x34 = -47.9092879672443

x35 = 49.4800842940392

x36 = -91.8915851175014

x37 = -10.2101761241668

x38 = -54.1924732744239

x39 = 2.35619449019234

x40 = 80.8960108299372

x41 = 50783.0598471156

x42 = -61.8490593485485

x43 = 85.8057953701718

x44 = 77.7544181763474

x45 = 71.4712328691678

x46 = 14.9225651045515

x47 = -57.3340659280137

x48 = -96.4065785380363

x49 = -46.1410960805996

x50 = -85.6083998103219

x51 = -3.92699081698724

x52 = -19.6349540849362

x53 = 70.0978321022228

x54 = -16.4933614313464

x55 = -32.2013246992954

x56 = -74.4154299629077

x57 = -33.5747254662404

x58 = -98.174770424681

x59 = -2.15879893034246

x60 = -77.5570226164975

x61 = -55.565874041369

x62 = 13.5491643376065

x63 = 55.7632696012188

x64 = 62.0464549083984

x65 = 54.3898688342738

x66 = 32.3987202591453

x67 = -90.1233932308567

x68 = -68.1322446557281

x69 = -25.9181393921158

x70 = 18.0641577581413

x71 = 93.4623814442964

x72 = -83.8402079236771

x73 = -93.2649858844465

x74 = -11.5835768911118

x75 = 65.1880475619882

x76 = 99.7455667514759

x77 = 76.3810174094024

x78 = 26.1155349519657

x79 = -76.1836218495525

x80 = 98.3721659845309

x81 = -52.4242813877792

x82 = 41.8234982199146

x83 = -66.7588438887831

x84 = 112.311937365835

x85 = 33.7721210260903

x86 = 40.0553063332699

x87 = 96.6039740978861

x88 = -13.3517687777566

x89 = 74.6128255227576

x90 = -8.44198423752205

График