4х^2+2х+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4х^2+2х+1=0

Вы ввели

   2              
4*x  + 2*x + 1 = 0

$$4 x^{2} + 2 x + 1 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = 2$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (4) * (1) = -12

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
Упростить

Быстрый ответ

               ___
       1   I*\/ 3 
x1 = - - - -------
       4      4   

$$x_{1} = - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
x2 = - - + -------
       4      4   

$$x_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$$

Сумма и произведение корней

сумма

              ___             ___
      1   I*\/ 3      1   I*\/ 3 
0 + - - - ------- + - - + -------
      4      4        4      4   

$$\left(0 - \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}\right)\right) - \left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}\right)$$

=

-1/2

$$- \frac{1}{2}$$

произведение

  /          ___\ /          ___\
  |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 |
1*|- - - -------|*|- - + -------|
  \  4      4   / \  4      4   /

$$1 \left(- \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}\right) \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}\right)$$

=

1/4

$$\frac{1}{4}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$4 x^{2} + 2 x + 1 = 0$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4} = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = \frac{1}{2}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \frac{1}{4}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} x_{2} = \frac{1}{4}$$

Численный ответ

x1 = -0.25 - 0.433012701892219*i

x2 = -0.25 + 0.433012701892219*i

График