16^x-17*4^x+16=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 16^x-17*4^x+16=0

Вы ввели

  x       x         
16  - 17*4  + 16 = 0

$$16^{x} - 17 \cdot 4^{x} + 16 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$16^{x} - 17 \cdot 4^{x} + 16 = 0$$
или
$$\left(16^{x} - 17 \cdot 4^{x} + 16\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 4^{x}$$
получим
$$v^{2} - 17 v + 16 = 0$$
или
$$v^{2} - 17 v + 16 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -17$$
$$c = 16$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-17)^2 - 4 * (1) * (16) = 225

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 16$$
Упростить
$$v_{2} = 1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$4^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(4 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(16 \right)}}{\log{\left(4 \right)}} = 2$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(1 \right)}}{\log{\left(4 \right)}} = 0$$

Быстрый ответ

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

x2 = 2

$$x_{2} = 2$$

     log(4)    pi*I 
x3 = ------ + ------
     log(2)   log(2)

$$x_{3} = \frac{\log{\left(4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

      pi*I 
x4 = ------
     log(2)

$$x_{4} = \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            log(4)    pi*I     pi*I 
0 + 0 + 2 + ------ + ------ + ------
            log(2)   log(2)   log(2)

$$\frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} + \left(\left(\left(0 + 0\right) + 2\right) + \left(\frac{\log{\left(4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)\right)$$

=

    log(4)   2*pi*I
2 + ------ + ------
    log(2)   log(2)

$$2 + \frac{\log{\left(4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{2 i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

произведение

      /log(4)    pi*I \  pi*I 
1*0*2*|------ + ------|*------
      \log(2)   log(2)/ log(2)

$$1 \cdot 0 \cdot 2 \left(\frac{\log{\left(4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right) \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

x1 = 0

x2 = 2.0

x3 = 2.0 + 4.53236014182719*i

x4 = 4.53236014182719*i

График