sin(3*x)/sin(x)=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: sin(3*x)/sin(x)=0

Вы ввели

sin(3*x)    
-------- = 0
 sin(x)     

$$\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\frac{\sin{\left (3 x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} = 0$$
преобразуем
$$- 4 \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 = 0$$
$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(3 \left(- \sin^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} - \sin^{3}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\frac{1}{w} \left(- w^{3} + 3 w \left(- w^{2} + 1\right)\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- 4 w^{2} + 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -4$$
$$b = 0$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (-4) * (3) = 48

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$w_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{3}}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{3}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$

Быстрый ответ

     pi
x1 = --
     3 

$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi
0 + --
    3 

$$0 + \frac{\pi}{3}$$

=

pi
--
3 

$$\frac{\pi}{3}$$

произведение

  pi
1*--
  3 

$$1 \frac{\pi}{3}$$

=

pi
--
3 

$$\frac{\pi}{3}$$

Численный ответ

x1 = -378.038315981972

x2 = 74.3510261349584

x3 = 82.7286065445312

x4 = -55.5014702134197

x5 = 38.7463093942741

x6 = 83.7758040957278

x7 = 33.5103216382911

x8 = -99.4837673636768

x9 = -96.342174710087

x10 = 26.1799387799149

x11 = -33.5103216382911

x12 = -5.23598775598299

x13 = -26696.2071726549

x14 = -85.870199198121

x15 = -76.4454212373516

x16 = -32.4631240870945

x17 = 48.1710873550435

x18 = -90.0589894029074

x19 = 39.7935069454707

x20 = 68.0678408277789

x21 = -30.3687289847013

x22 = 99.4837673636768

x23 = -71.2094334813686

x24 = -294.262511886244

x25 = -325.678438422142

x26 = 10.471975511966

x27 = 2.0943951023932

x28 = 77.4926187885482

x29 = -79.5870138909414

x30 = -26.1799387799149

x31 = 54.4542726622231

x32 = -48.1710873550435

x33 = -49.2182849062401

x34 = 55.5014702134197

x35 = 98.4365698124802

x36 = -92.1533845053006

x37 = -4.18879020478639

x38 = -98.4365698124802

x39 = -39.7935069454707

x40 = -27.2271363311115

x41 = -10.471975511966

x42 = -63.8790506229925

x43 = -24.0855436775217

x44 = 16.7551608191456

x45 = 90.0589894029074

x46 = 1515.29485658148

x47 = -35.6047167406843

x48 = 96.342174710087

x49 = 63.8790506229925

x50 = 8.37758040957278

x51 = 24.0855436775217

x52 = -13.6135681655558

x53 = 19.8967534727354

x54 = 61.7846555205993

x55 = -61.7846555205993

x56 = 17.8023583703422

x57 = -19.8967534727354

x58 = -41.8879020478639

x59 = 60.7374579694027

x60 = 41.8879020478639

x61 = -54.4542726622231

x62 = -46.0766922526503

x63 = 52.3598775598299

x64 = -77.4926187885482

x65 = 70.162235930172

x66 = -2.0943951023932

x67 = 4.18879020478639

x68 = 76.4454212373516

x69 = -70.162235930172

x70 = -57.5958653158129

x71 = -11.5191730631626

x72 = 32.4631240870945

x73 = -17.8023583703422

x74 = 20.943951023932

x75 = -68.0678408277789

x76 = -14.6607657167524

x77 = 30.3687289847013

x78 = 11.5191730631626

x79 = -93.2005820564972

x80 = 92.1533845053006

x81 = 46.0766922526503

x82 = -83.7758040957278

x83 = 79.5870138909414

x84 = -60.7374579694027

График