sin^2(x)=3/4 (уравнение)

Найду корень уравнения: sin^2(x)=3/4

Вы ввели

   2         
sin (x) = 3/4

$$\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{3}{4}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{3}{4}$$
преобразуем
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{3}{4} = 0$$
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{3}{4} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = - \frac{3}{4}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-3/4) = 3

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   pi   2*pi   4*pi
0 - -- + -- + ---- + ----
    3    3     3      3  

$$\left(\left(\left(- \frac{\pi}{3} + 0\right) + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{2 \pi}{3}\right) + \frac{4 \pi}{3}$$

=

2*pi

$$2 \pi$$

произведение

  -pi  pi 2*pi 4*pi
1*----*--*----*----
   3   3   3    3  

$$\frac{4 \pi}{3} \frac{2 \pi}{3} \frac{\pi}{3} \cdot 1 \left(- \frac{\pi}{3}\right)$$

=

     4
-8*pi 
------
  81  

$$- \frac{8 \pi^{4}}{81}$$

Быстрый ответ

     -pi 
x1 = ----
      3  

$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$

     pi
x2 = --
     3 

$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$

     2*pi
x3 = ----
      3  

$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$

     4*pi
x4 = ----
      3  

$$x_{4} = \frac{4 \pi}{3}$$

Численный ответ

x1 = 83.7758040957278

x2 = 8.37758040957278

x3 = 63.8790506229925

x4 = -54.4542726622231

x5 = -79.5870138909414

x6 = -83.7758040957278

x7 = 70.162235930172

x8 = -27.2271363311115

x9 = 98.4365698124802

x10 = 10.471975511966

x11 = -13.6135681655558

x12 = 79.5870138909414

x13 = 85.870199198121

x14 = 38.7463093942741

x15 = 30.3687289847013

x16 = 55.5014702134197

x17 = 46.0766922526503

x18 = -378.038315981972

x19 = -63.8790506229925

x20 = 74.3510261349584

x21 = -17.8023583703422

x22 = -5.23598775598299

x23 = 60.7374579694027

x24 = 1515.29485658148

x25 = 52.3598775598299

x26 = -30.3687289847013

x27 = -68.0678408277789

x28 = -96.342174710087

x29 = 96.342174710087

x30 = 16.7551608191456

x31 = -14.6607657167524

x32 = 24.0855436775217

x33 = 11.5191730631626

x34 = -294.262511886244

x35 = 41.8879020478639

x36 = 82.7286065445312

x37 = -76.4454212373516

x38 = 17.8023583703422

x39 = 68.0678408277789

x40 = -39.7935069454707

x41 = -57.5958653158129

x42 = 90.0589894029074

x43 = -60.7374579694027

x44 = -70.162235930172

x45 = -48.1710873550435

x46 = -49.2182849062401

x47 = 32.4631240870945

x48 = -11.5191730631626

x49 = -61.7846555205993

x50 = 99.4837673636768

x51 = -92.1533845053006

x52 = -2.0943951023932

x53 = -4.18879020478639

x54 = 92.1533845053006

x55 = -35.6047167406843

x56 = 76.4454212373516

x57 = -55.5014702134197

x58 = -71.2094334813686

x59 = -90.0589894029074

x60 = 48.1710873550435

x61 = 4.18879020478639

x62 = 2.0943951023932

x63 = 33.5103216382911

x64 = -98.4365698124802

x65 = -26.1799387799149

x66 = 39.7935069454707

x67 = -46.0766922526503

x68 = -24.0855436775217

x69 = -33.5103216382911

x70 = -41.8879020478639

x71 = 61.7846555205993

x72 = 20.943951023932

x73 = 19.8967534727354

x74 = 77.4926187885482

x75 = -10.471975511966

x76 = -99.4837673636768

x77 = -19.8967534727354

x78 = -77.4926187885482

x79 = -32.4631240870945

x80 = 26.1799387799149

x81 = -93.2005820564972

x82 = -85.870199198121

x83 = 54.4542726622231

График