(x-4)^4-6*(x-4)^2-7=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x-4)^4-6*(x-4)^2-7=0

Вы ввели

       4            2        
(x - 4)  - 6*(x - 4)  - 7 = 0

$$\left(x - 4\right)^{4} - 6 \left(x - 4\right)^{2} - 7 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(x - 4\right)^{4} - 6 \left(x - 4\right)^{2} - 7 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(x - 4\right)^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} - 6 v - 7 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -6$$
$$c = -7$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-6)^2 - 4 * (1) * (-7) = 64

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 7$$
Упростить
$$v_{2} = -1$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = \left(x - 4\right)^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}} + 4$$
$$x_{2} = 4 - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}} + 4$$
$$x_{4} = 4 - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{1 \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{4}{1} = \sqrt{7} + 4$$
$$x_{2} = \frac{\left(-1\right) 7^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{4}{1} = 4 - \sqrt{7}$$
$$x_{3} = \frac{4}{1} + \frac{1 \left(-1\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = 4 + i$$
$$x_{4} = \frac{4}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(-1\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = 4 - i$$

Быстрый ответ

           ___
x1 = 4 - \/ 7 

$$x_{1} = 4 - \sqrt{7}$$

           ___
x2 = 4 + \/ 7 

$$x_{2} = \sqrt{7} + 4$$

x3 = 4 - I

$$x_{3} = 4 - i$$

x4 = 4 + I

$$x_{4} = 4 + i$$

Сумма и произведение корней

сумма

          ___         ___                
0 + 4 - \/ 7  + 4 + \/ 7  + 4 - I + 4 + I

$$\left(\left(\left(0 + \left(4 - \sqrt{7}\right)\right) + \left(\sqrt{7} + 4\right)\right) + \left(4 - i\right)\right) + \left(4 + i\right)$$

=

16

$$16$$

произведение

  /      ___\ /      ___\                
1*\4 - \/ 7 /*\4 + \/ 7 /*(4 - I)*(4 + I)

$$1 \cdot \left(4 - \sqrt{7}\right) \left(\sqrt{7} + 4\right) \left(4 - i\right) \left(4 + i\right)$$

=

153

$$153$$

Численный ответ

x1 = 4.0 + 1.0*i

x2 = 6.64575131106459

x3 = 1.35424868893541

x4 = 4.0 - 1.0*i

График