(x+1)^5=32 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x+1)^5=32

Вы ввели

       5     
(x + 1)  = 32

$$\left(x + 1\right)^{5} = 32$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x + 1\right)^{5} = 32$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 x + 1\right)^{5}} = \sqrt[5]{32}$$
или
$$x + 1 = 2$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 1$$
Получим ответ: x = 1

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + 1$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = 32$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 32$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x + 1$$
$$x = z - 1$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Быстрый ответ

x1 = 1

$$x_{1} = 1$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       3   \/ 5         /  5   \/ 5  
x2 = - - - ----- - I*  /   - - ----- 
       2     2       \/    2     2   

$$x_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} - i \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       3   \/ 5         /  5   \/ 5  
x3 = - - - ----- + I*  /   - - ----- 
       2     2       \/    2     2   

$$x_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} + i \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       3   \/ 5         /  5   \/ 5  
x4 = - - + ----- - I*  /   - + ----- 
       2     2       \/    2     2   

$$x_{4} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}}$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       3   \/ 5         /  5   \/ 5  
x5 = - - + ----- + I*  /   - + ----- 
       2     2       \/    2     2   

$$x_{5} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                             ___________                        ___________                        ___________                        ___________
                ___         /       ___            ___         /       ___            ___         /       ___            ___         /       ___ 
          3   \/ 5         /  5   \/ 5       3   \/ 5         /  5   \/ 5       3   \/ 5         /  5   \/ 5       3   \/ 5         /  5   \/ 5  
0 + 1 + - - - ----- - I*  /   - - -----  + - - - ----- + I*  /   - - -----  + - - + ----- - I*  /   - + -----  + - - + ----- + I*  /   - + ----- 
          2     2       \/    2     2        2     2       \/    2     2        2     2       \/    2     2        2     2       \/    2     2   

$$\left(\left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}}\right) - \left(2 + \sqrt{5}\right)\right) + \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}}\right)$$

=

-5

$$-5$$

произведение

    /                     ___________\ /                     ___________\ /                     ___________\ /                     ___________\
    |        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ |
    |  3   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  3   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  3   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  3   \/ 5         /  5   \/ 5  |
1*1*|- - - ----- - I*  /   - - ----- |*|- - - ----- + I*  /   - - ----- |*|- - + ----- - I*  /   - + ----- |*|- - + ----- + I*  /   - + ----- |
    \  2     2       \/    2     2   / \  2     2       \/    2     2   / \  2     2       \/    2     2   / \  2     2       \/    2     2   /

$$1 \cdot 1 \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} - i \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}\right) \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} + i \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}\right) \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}}\right) \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}}\right)$$

=

31

$$31$$

Численный ответ

x1 = -2.61803398874989 + 1.17557050458495*i

x2 = -2.61803398874989 - 1.17557050458495*i

x3 = -0.381966011250105 + 1.90211303259031*i

x4 = -0.381966011250105 - 1.90211303259031*i

x5 = 1.0

График