x^4-13x^2-36=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4-13x^2-36=0

Вы ввели

 4       2         
x  - 13*x  - 36 = 0

$$x^{4} - 13 x^{2} - 36 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{4} - 13 x^{2} - 36 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} - 13 v - 36 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -13$$
$$c = -36$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-13)^2 - 4 * (1) * (-36) = 313

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = \frac{13}{2} + \frac{\sqrt{313}}{2}$$
Упростить
$$v_{2} = \frac{13}{2} - \frac{\sqrt{313}}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{13}{2} + \frac{\sqrt{313}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{13}{2} + \frac{\sqrt{313}}{2}}$$
$$x_{2} =$$
$$\frac{\left(-1\right) \left(\frac{13}{2} + \frac{\sqrt{313}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{\frac{13}{2} + \frac{\sqrt{313}}{2}}$$
$$x_{3} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{13}{2} - \frac{\sqrt{313}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{13}{2} - \frac{\sqrt{313}}{2}}$$
$$x_{4} =$$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(\frac{13}{2} - \frac{\sqrt{313}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{\frac{13}{2} - \frac{\sqrt{313}}{2}}$$

Быстрый ответ

           ______________
          /        _____ 
         /  13   \/ 313  
x1 = -  /   -- + ------- 
      \/    2       2    

$$x_{1} = - \sqrt{\frac{13}{2} + \frac{\sqrt{313}}{2}}$$

          ______________
         /        _____ 
        /  13   \/ 313  
x2 =   /   -- + ------- 
     \/    2       2    

$$x_{2} = \sqrt{\frac{13}{2} + \frac{\sqrt{313}}{2}}$$

             ________________
            /          _____ 
           /    13   \/ 313  
x3 = -I*  /   - -- + ------- 
        \/      2       2    

$$x_{3} = - i \sqrt{- \frac{13}{2} + \frac{\sqrt{313}}{2}}$$

            ________________
           /          _____ 
          /    13   \/ 313  
x4 = I*  /   - -- + ------- 
       \/      2       2    

$$x_{4} = i \sqrt{- \frac{13}{2} + \frac{\sqrt{313}}{2}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

         ______________        ______________          ________________          ________________
        /        _____        /        _____          /          _____          /          _____ 
       /  13   \/ 313        /  13   \/ 313          /    13   \/ 313          /    13   \/ 313  
0 -   /   -- + -------  +   /   -- + -------  - I*  /   - -- + -------  + I*  /   - -- + ------- 
    \/    2       2       \/    2       2         \/      2       2         \/      2       2    

$$\left(\left(\left(- \sqrt{\frac{13}{2} + \frac{\sqrt{313}}{2}} + 0\right) + \sqrt{\frac{13}{2} + \frac{\sqrt{313}}{2}}\right) - i \sqrt{- \frac{13}{2} + \frac{\sqrt{313}}{2}}\right) + i \sqrt{- \frac{13}{2} + \frac{\sqrt{313}}{2}}$$

=

0

$$0$$

произведение

        ______________      ______________         ________________        ________________
       /        _____      /        _____         /          _____        /          _____ 
      /  13   \/ 313      /  13   \/ 313         /    13   \/ 313        /    13   \/ 313  
1*-  /   -- + ------- *  /   -- + ------- *-I*  /   - -- + ------- *I*  /   - -- + ------- 
   \/    2       2     \/    2       2        \/      2       2       \/      2       2    

$$i \sqrt{- \frac{13}{2} + \frac{\sqrt{313}}{2}} - i \sqrt{- \frac{13}{2} + \frac{\sqrt{313}}{2}} 1 \left(- \sqrt{\frac{13}{2} + \frac{\sqrt{313}}{2}}\right) \sqrt{\frac{13}{2} + \frac{\sqrt{313}}{2}}$$

=

-36

$$-36$$

Численный ответ

x1 = -1.53163409679893*i

x2 = 1.53163409679893*i

x3 = -3.91738471514824

x4 = 3.91738471514824