x^4-x^2-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^4-x^2-1=0

Вы ввели

 4    2        
x  - x  - 1 = 0

$$x^{4} - x^{2} - 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{4} - x^{2} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} - v - 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-1) = 5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Упростить
$$v_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}$$
$$x_{2} = \frac{\left(-1\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}$$
$$x_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}$$
$$x_{4} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}}$$

Быстрый ответ

           ___________
          /       ___ 
         /  1   \/ 5  
x1 = -  /   - + ----- 
      \/    2     2   

$$x_{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}$$

          ___________
         /       ___ 
        /  1   \/ 5  
x2 =   /   - + ----- 
     \/    2     2   

$$x_{2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}$$

             _____________
            /         ___ 
           /    1   \/ 5  
x3 = -I*  /   - - + ----- 
        \/      2     2   

$$x_{3} = - i \sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}$$

            _____________
           /         ___ 
          /    1   \/ 5  
x4 = I*  /   - - + ----- 
       \/      2     2   

$$x_{4} = i \sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

         ___________        ___________          _____________          _____________
        /       ___        /       ___          /         ___          /         ___ 
       /  1   \/ 5        /  1   \/ 5          /    1   \/ 5          /    1   \/ 5  
0 -   /   - + -----  +   /   - + -----  - I*  /   - - + -----  + I*  /   - - + ----- 
    \/    2     2      \/    2     2        \/      2     2        \/      2     2   

$$\left(\left(\left(- \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}} + 0\right) + \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}\right) - i \sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}\right) + i \sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}$$

=

0

$$0$$

произведение

        ___________      ___________         _____________        _____________
       /       ___      /       ___         /         ___        /         ___ 
      /  1   \/ 5      /  1   \/ 5         /    1   \/ 5        /    1   \/ 5  
1*-  /   - + ----- *  /   - + ----- *-I*  /   - - + ----- *I*  /   - - + ----- 
   \/    2     2    \/    2     2       \/      2     2      \/      2     2   

$$i \sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}} - i \sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}} 1 \left(- \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}\right) \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}$$

=

-1

$$-1$$

Численный ответ

x1 = -1.27201964951407

x2 = 1.27201964951407

x3 = 0.786151377757423*i

x4 = -0.786151377757423*i

График