x^5-32=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^5-32=0

Вы ввели

 5         
x  - 32 = 0

$$x^{5} - 32 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{5} - 32 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 x + 0\right)^{5}} = \sqrt[5]{32}$$
или
$$x = 2$$
Получим ответ: x = 2

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = 32$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 32$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Быстрый ответ

x1 = 2

$$x_{1} = 2$$

                            ___________
             ___           /       ___ 
       1   \/ 5           /  5   \/ 5  
x2 = - - + ----- - 2*I*  /   - + ----- 
       2     2         \/    8     8   

$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                            ___________
             ___           /       ___ 
       1   \/ 5           /  5   \/ 5  
x3 = - - + ----- + 2*I*  /   - + ----- 
       2     2         \/    8     8   

$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                            ___________
             ___           /       ___ 
       1   \/ 5           /  5   \/ 5  
x4 = - - - ----- - 2*I*  /   - - ----- 
       2     2         \/    8     8   

$$x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                            ___________
             ___           /       ___ 
       1   \/ 5           /  5   \/ 5  
x5 = - - - ----- + 2*I*  /   - - ----- 
       2     2         \/    8     8   

$$x_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                               ___________                          ___________                          ___________                          ___________
                ___           /       ___            ___           /       ___            ___           /       ___            ___           /       ___ 
          1   \/ 5           /  5   \/ 5       1   \/ 5           /  5   \/ 5       1   \/ 5           /  5   \/ 5       1   \/ 5           /  5   \/ 5  
0 + 2 + - - + ----- - 2*I*  /   - + -----  + - - + ----- + 2*I*  /   - + -----  + - - - ----- - 2*I*  /   - - -----  + - - - ----- + 2*I*  /   - - ----- 
          2     2         \/    8     8        2     2         \/    8     8        2     2         \/    8     8        2     2         \/    8     8   

$$\left(\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(\left(0 + 2\right) - \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

    /                       ___________\ /                       ___________\ /                       ___________\ /                       ___________\
    |        ___           /       ___ | |        ___           /       ___ | |        ___           /       ___ | |        ___           /       ___ |
    |  1   \/ 5           /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5           /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5           /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5           /  5   \/ 5  |
1*2*|- - + ----- - 2*I*  /   - + ----- |*|- - + ----- + 2*I*  /   - + ----- |*|- - - ----- - 2*I*  /   - - ----- |*|- - - ----- + 2*I*  /   - - ----- |
    \  2     2         \/    8     8   / \  2     2         \/    8     8   / \  2     2         \/    8     8   / \  2     2         \/    8     8   /

$$1 \cdot 2 \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

32

$$32$$

Численный ответ

x1 = 0.618033988749895 + 1.90211303259031*i

x2 = 2.0

x3 = -1.61803398874989 - 1.17557050458495*i

x4 = -1.61803398874989 + 1.17557050458495*i

x5 = 0.618033988749895 - 1.90211303259031*i

График