x^3+6x^2=9x+54 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3+6x^2=9x+54

Вы ввели

 3      2           
x  + 6*x  = 9*x + 54

$$x^{3} + 6 x^{2} = 9 x + 54$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{3} + 6 x^{2} = 9 x + 54$$
преобразуем
$$\left(- 9 x - \left(- x^{3} - 6 x^{2} + 81\right)\right) + 27 = 0$$
или
$$\left(- 9 x - \left(- x^{3} - 6 x^{2} + 27 + 54\right)\right) + 3 \cdot 9 = 0$$
$$- 9 \left(x - 3\right) + \left(6 \left(x^{2} - 3^{2}\right) + 1 \left(x^{3} - 3^{3}\right)\right) = 0$$
$$- 9 \left(x - 3\right) + \left(1 \left(x - 3\right) \left(\left(x^{2} + 3 x\right) + 3^{2}\right) + 6 \left(x - 3\right) \left(x + 3\right)\right) = 0$$
Вынесем общий множитель -3 + x за скобки
получим:
$$\left(x - 3\right) \left(\left(6 \left(x + 3\right) + 1 \left(\left(x^{2} + 3 x\right) + 3^{2}\right)\right) - 9\right) = 0$$
или
$$\left(x - 3\right) \left(x^{2} + 9 x + 18\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = 3$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} + 9 x + 18 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 9$$
$$c = 18$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(9)^2 - 4 * (1) * (18) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = -3$$
Упростить
$$x_{3} = -6$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для (x^3 + 6*x^2) - (9*x - 54) = 0:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = -6$$

Быстрый ответ

x1 = -6

$$x_{1} = -6$$

x2 = -3

$$x_{2} = -3$$

x3 = 3

$$x_{3} = 3$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 - 6 - 3 + 3

$$\left(\left(-6 + 0\right) - 3\right) + 3$$

=

-6

$$-6$$

произведение

1*-6*-3*3

$$1 \left(-6\right) \left(-3\right) 3$$

=

54

$$54$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 6$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = -9$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -54$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = -6$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = -9$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -54$$

Численный ответ

x1 = -3.0

x2 = 3.0

x3 = -6.0

График