x^8+16=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^8+16=0

Вы ввели

 8         
x  + 16 = 0

$$x^{8} + 16 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{8} + 16 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 8 и свободный член = -16 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{8} = -16$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{8} e^{8 i p} = -16$$
где
$$r = \sqrt{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{8 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(8 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{4} + \frac{\pi}{8}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{2} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - \sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{3} = - \sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z_{4} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z_{5} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{6} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z_{7} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{8} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{2} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - \sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$x_{4} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$x_{5} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{6} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$x_{7} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{8} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

Быстрый ответ

                  ___________                ___________
                 /       ___                /       ___ 
         ___    /  1   \/ 2         ___    /  1   \/ 2  
x1 = - \/ 2 *  /   - - -----  + I*\/ 2 *  /   - + ----- 
             \/    2     4              \/    2     4   

$$x_{1} = - \sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

                ___________                ___________
               /       ___                /       ___ 
       ___    /  1   \/ 2         ___    /  1   \/ 2  
x2 = \/ 2 *  /   - - -----  - I*\/ 2 *  /   - + ----- 
           \/    2     4              \/    2     4   

$$x_{2} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - \sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

                  ___________                ___________
                 /       ___                /       ___ 
         ___    /  1   \/ 2         ___    /  1   \/ 2  
x3 = - \/ 2 *  /   - + -----  - I*\/ 2 *  /   - - ----- 
             \/    2     4              \/    2     4   

$$x_{3} = - \sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

                ___________                ___________
               /       ___                /       ___ 
       ___    /  1   \/ 2         ___    /  1   \/ 2  
x4 = \/ 2 *  /   - + -----  + I*\/ 2 *  /   - - ----- 
           \/    2     4              \/    2     4   

$$x_{4} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

          ___________        ___________     /     ___________        ___________\
         /       ___        /       ___      |    /       ___        /       ___ |
        /  1   \/ 2        /  1   \/ 2       |   /  1   \/ 2        /  1   \/ 2  |
x5 =   /   - + -----  -   /   - - -----  + I*|  /   - - -----  +   /   - + ----- |
     \/    2     4      \/    2     4        \\/    2     4      \/    2     4   /

$$x_{5} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right)$$

          ___________        ___________     /     ___________        ___________\
         /       ___        /       ___      |    /       ___        /       ___ |
        /  1   \/ 2        /  1   \/ 2       |   /  1   \/ 2        /  1   \/ 2  |
x6 =   /   - - -----  +   /   - + -----  + I*|  /   - - -----  -   /   - + ----- |
     \/    2     4      \/    2     4        \\/    2     4      \/    2     4   /

$$x_{6} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \left(- \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)$$

            ___________        ___________     /     ___________        ___________\
           /       ___        /       ___      |    /       ___        /       ___ |
          /  1   \/ 2        /  1   \/ 2       |   /  1   \/ 2        /  1   \/ 2  |
x7 = -   /   - - -----  -   /   - + -----  + I*|  /   - + -----  -   /   - - ----- |
       \/    2     4      \/    2     4        \\/    2     4      \/    2     4   /

$$x_{7} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \left(- \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right)$$

          ___________        ___________     /       ___________        ___________\
         /       ___        /       ___      |      /       ___        /       ___ |
        /  1   \/ 2        /  1   \/ 2       |     /  1   \/ 2        /  1   \/ 2  |
x8 =   /   - - -----  -   /   - + -----  + I*|-   /   - - -----  -   /   - + ----- |
     \/    2     4      \/    2     4        \  \/    2     4      \/    2     4   /

$$x_{8} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \left(- \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)$$

Сумма и произведение корней

сумма

                 ___________                ___________              ___________                ___________                ___________                ___________              ___________                ___________        ___________        ___________     /     ___________        ___________\        ___________        ___________     /     ___________        ___________\          ___________        ___________     /     ___________        ___________\        ___________        ___________     /       ___________        ___________\
                /       ___                /       ___              /       ___                /       ___                /       ___                /       ___              /       ___                /       ___        /       ___        /       ___      |    /       ___        /       ___ |       /       ___        /       ___      |    /       ___        /       ___ |         /       ___        /       ___      |    /       ___        /       ___ |       /       ___        /       ___      |      /       ___        /       ___ |
        ___    /  1   \/ 2         ___    /  1   \/ 2       ___    /  1   \/ 2         ___    /  1   \/ 2         ___    /  1   \/ 2         ___    /  1   \/ 2       ___    /  1   \/ 2         ___    /  1   \/ 2        /  1   \/ 2        /  1   \/ 2       |   /  1   \/ 2        /  1   \/ 2  |      /  1   \/ 2        /  1   \/ 2       |   /  1   \/ 2        /  1   \/ 2  |        /  1   \/ 2        /  1   \/ 2       |   /  1   \/ 2        /  1   \/ 2  |      /  1   \/ 2        /  1   \/ 2       |     /  1   \/ 2        /  1   \/ 2  |
0 + - \/ 2 *  /   - - -----  + I*\/ 2 *  /   - + -----  + \/ 2 *  /   - - -----  - I*\/ 2 *  /   - + -----  + - \/ 2 *  /   - + -----  - I*\/ 2 *  /   - - -----  + \/ 2 *  /   - + -----  + I*\/ 2 *  /   - - -----  +   /   - + -----  -   /   - - -----  + I*|  /   - - -----  +   /   - + ----- | +   /   - - -----  +   /   - + -----  + I*|  /   - - -----  -   /   - + ----- | + -   /   - - -----  -   /   - + -----  + I*|  /   - + -----  -   /   - - ----- | +   /   - - -----  -   /   - + -----  + I*|-   /   - - -----  -   /   - + ----- |
            \/    2     4              \/    2     4            \/    2     4              \/    2     4              \/    2     4              \/    2     4            \/    2     4              \/    2     4      \/    2     4      \/    2     4        \\/    2     4      \/    2     4   /   \/    2     4      \/    2     4        \\/    2     4      \/    2     4   /     \/    2     4      \/    2     4        \\/    2     4      \/    2     4   /   \/    2     4      \/    2     4        \  \/    2     4      \/    2     4   /

$$\left(- \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \left(- \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)\right) - \left(- \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - i \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) - i \left(- \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) - i \left(- \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)\right)$$

=

  /     ___________        ___________\     /     ___________        ___________\     /     ___________        ___________\     /       ___________        ___________\
  |    /       ___        /       ___ |     |    /       ___        /       ___ |     |    /       ___        /       ___ |     |      /       ___        /       ___ |
  |   /  1   \/ 2        /  1   \/ 2  |     |   /  1   \/ 2        /  1   \/ 2  |     |   /  1   \/ 2        /  1   \/ 2  |     |     /  1   \/ 2        /  1   \/ 2  |
I*|  /   - - -----  +   /   - + ----- | + I*|  /   - - -----  -   /   - + ----- | + I*|  /   - + -----  -   /   - - ----- | + I*|-   /   - - -----  -   /   - + ----- |
  \\/    2     4      \/    2     4   /     \\/    2     4      \/    2     4   /     \\/    2     4      \/    2     4   /     \  \/    2     4      \/    2     4   /

$$i \left(- \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right) + i \left(- \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right) + i \left(- \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) + i \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right)$$

произведение

  /             ___________                ___________\ /           ___________                ___________\ /             ___________                ___________\ /           ___________                ___________\ /     ___________        ___________     /     ___________        ___________\\ /     ___________        ___________     /     ___________        ___________\\ /       ___________        ___________     /     ___________        ___________\\ /     ___________        ___________     /       ___________        ___________\\
  |            /       ___                /       ___ | |          /       ___                /       ___ | |            /       ___                /       ___ | |          /       ___                /       ___ | |    /       ___        /       ___      |    /       ___        /       ___ || |    /       ___        /       ___      |    /       ___        /       ___ || |      /       ___        /       ___      |    /       ___        /       ___ || |    /       ___        /       ___      |      /       ___        /       ___ ||
  |    ___    /  1   \/ 2         ___    /  1   \/ 2  | |  ___    /  1   \/ 2         ___    /  1   \/ 2  | |    ___    /  1   \/ 2         ___    /  1   \/ 2  | |  ___    /  1   \/ 2         ___    /  1   \/ 2  | |   /  1   \/ 2        /  1   \/ 2       |   /  1   \/ 2        /  1   \/ 2  || |   /  1   \/ 2        /  1   \/ 2       |   /  1   \/ 2        /  1   \/ 2  || |     /  1   \/ 2        /  1   \/ 2       |   /  1   \/ 2        /  1   \/ 2  || |   /  1   \/ 2        /  1   \/ 2       |     /  1   \/ 2        /  1   \/ 2  ||
1*|- \/ 2 *  /   - - -----  + I*\/ 2 *  /   - + ----- |*|\/ 2 *  /   - - -----  - I*\/ 2 *  /   - + ----- |*|- \/ 2 *  /   - + -----  - I*\/ 2 *  /   - - ----- |*|\/ 2 *  /   - + -----  + I*\/ 2 *  /   - - ----- |*|  /   - + -----  -   /   - - -----  + I*|  /   - - -----  +   /   - + ----- ||*|  /   - - -----  +   /   - + -----  + I*|  /   - - -----  -   /   - + ----- ||*|-   /   - - -----  -   /   - + -----  + I*|  /   - + -----  -   /   - - ----- ||*|  /   - - -----  -   /   - + -----  + I*|-   /   - - -----  -   /   - + ----- ||
  \        \/    2     4              \/    2     4   / \      \/    2     4              \/    2     4   / \        \/    2     4              \/    2     4   / \      \/    2     4              \/    2     4   / \\/    2     4      \/    2     4        \\/    2     4      \/    2     4   // \\/    2     4      \/    2     4        \\/    2     4      \/    2     4   // \  \/    2     4      \/    2     4        \\/    2     4      \/    2     4   // \\/    2     4      \/    2     4        \  \/    2     4      \/    2     4   //

$$1 \left(- \sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) \left(\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - \sqrt{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) \left(- \sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right) \left(\sqrt{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt{2} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right) \left(- \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right)\right) \left(\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \left(- \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)\right) \left(- \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \left(- \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right)\right) \left(- \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \left(- \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)\right)$$

=

16

$$16$$

Численный ответ

x1 = 1.30656296487638 - 0.541196100146197*i

x2 = 0.541196100146197 - 1.30656296487638*i

x3 = -1.30656296487638 + 0.541196100146197*i

x4 = 0.541196100146197 + 1.30656296487638*i

x5 = -0.541196100146197 - 1.30656296487638*i

x6 = -1.30656296487638 - 0.541196100146197*i

x7 = 1.30656296487638 + 0.541196100146197*i

x8 = -0.541196100146197 + 1.30656296487638*i

График