x(x+1)(x+2)(x+3)=120 (уравнение)

Найду корень уравнения: x(x+1)(x+2)(x+3)=120

Вы ввели

x*(x + 1)*(x + 2)*(x + 3) = 120

$$x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) = 120$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) = 120$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$\left(x - 2\right) \left(x + 5\right) \left(x^{2} + 3 x + 12\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x - 2 = 0$$
$$x + 5 = 0$$
$$x^{2} + 3 x + 12 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x - 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 2$$
Получим ответ: x1 = 2
2.
$$x + 5 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -5$$
Получим ответ: x2 = -5
3.
$$x^{2} + 3 x + 12 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 3$$
$$c = 12$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3)^2 - 4 * (1) * (12) = -39

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{39} i}{2}$$
Упростить
$$x_{4} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{39} i}{2}$$
Упростить
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{39} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{39} i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -5

$$x_{1} = -5$$

x2 = 2

$$x_{2} = 2$$

               ____
       3   I*\/ 39 
x3 = - - - --------
       2      2    

$$x_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{39} i}{2}$$

               ____
       3   I*\/ 39 
x4 = - - + --------
       2      2    

$$x_{4} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{39} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                      ____             ____
              3   I*\/ 39      3   I*\/ 39 
0 - 5 + 2 + - - - -------- + - - + --------
              2      2         2      2    

$$\left(\left(\left(-5 + 0\right) + 2\right) - \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{39} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{39} i}{2}\right)$$

=

-6

$$-6$$

произведение

       /          ____\ /          ____\
       |  3   I*\/ 39 | |  3   I*\/ 39 |
1*-5*2*|- - - --------|*|- - + --------|
       \  2      2    / \  2      2    /

$$1 \left(-5\right) 2 \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{39} i}{2}\right) \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{39} i}{2}\right)$$

=

-120

$$-120$$

Численный ответ

x1 = 2.0

x2 = -1.5 + 3.1224989991992*i

x3 = -5.0

x4 = -1.5 - 3.1224989991992*i

График