Решите уравнение x^4=8 (х в степени 4 равно 8) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

x^4=8 (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^4=8

    Решение

    Вы ввели [src]
     4    
    x  = 8
    $$x^{4} = 8$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$x^{4} = 8$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
    ур-ние будет иметь два действительных корня.
    Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = \sqrt[4]{8}$$
    $$\sqrt[4]{\left(1 x + 0\right)^{4}} = \sqrt[4]{8} \left(-1\right)$$
    или
    $$x = 2^{\frac{3}{4}}$$
    $$x = - 2^{\frac{3}{4}}$$
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = 2^3/4

    Получим ответ: x = 2^(3/4)
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = -2^3/4

    Получим ответ: x = -2^(3/4)
    или
    $$x_{1} = - 2^{\frac{3}{4}}$$
    $$x_{2} = 2^{\frac{3}{4}}$$

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{4} = 8$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{4} e^{4 i p} = 8$$
    где
    $$r = 2^{\frac{3}{4}}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{4 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
    и
    $$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{\pi N}{2}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = - 2^{\frac{3}{4}}$$
    $$z_{2} = 2^{\frac{3}{4}}$$
    $$z_{3} = - 2^{\frac{3}{4}} i$$
    $$z_{4} = 2^{\frac{3}{4}} i$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = - 2^{\frac{3}{4}}$$
    $$x_{2} = 2^{\frac{3}{4}}$$
    $$x_{3} = - 2^{\frac{3}{4}} i$$
    $$x_{4} = 2^{\frac{3}{4}} i$$
    График
    Быстрый ответ [src]
           3/4
    x1 = -2   
    $$x_{1} = - 2^{\frac{3}{4}}$$
          3/4
    x2 = 2   
    $$x_{2} = 2^{\frac{3}{4}}$$
             3/4
    x3 = -I*2   
    $$x_{3} = - 2^{\frac{3}{4}} i$$
            3/4
    x4 = I*2   
    $$x_{4} = 2^{\frac{3}{4}} i$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
         3/4    3/4      3/4      3/4
    0 - 2    + 2    - I*2    + I*2   
    $$\left(\left(\left(- 2^{\frac{3}{4}} + 0\right) + 2^{\frac{3}{4}}\right) - 2^{\frac{3}{4}} i\right) + 2^{\frac{3}{4}} i$$
    =
    0
    $$0$$
    произведение
        3/4  3/4     3/4    3/4
    1*-2   *2   *-I*2   *I*2   
    $$2^{\frac{3}{4}} i - 2^{\frac{3}{4}} i 2^{\frac{3}{4}} \cdot 1 \left(- 2^{\frac{3}{4}}\right)$$
    =
    -8
    $$-8$$
    Численный ответ [src]
    x1 = 1.68179283050743*i
    x2 = -1.68179283050743
    x3 = -1.68179283050743*i
    x4 = 1.68179283050743
    График
    x^4=8 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/8/9e/dc3cc36f106c352467a70d8e8beb6.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: