Производная cot(e^x+2)

Вы ввели

   / x    \
cot\E  + 2/

$$\cot{\left (e^{x} + 2 \right )}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Один из способов:

   1. Заменим $u = e^{x} + 2$.

   2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(e^{x} + 2\right)$:

      1. дифференцируем $e^{x} + 2$ почленно:

         1. Производная $e^{x}$ само оно.

         2. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         В результате: $e^{x}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{e^{x}}{\sin^{2}{\left (e^{x} + 2 \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\sinh{\left (x \right )} + \cosh{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (\sinh{\left (x \right )} + \cosh{\left (x \right )} + 2 \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{\sinh{\left (x \right )} + \cosh{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (\sinh{\left (x \right )} + \cosh{\left (x \right )} + 2 \right )}}$

Первая производная

/        2/ x    \\  x
\-1 - cot \E  + 2//*e 

$$\left(- \cot^{2}{\left (e^{x} + 2 \right )} - 1\right) e^{x}$$

Вторая производная

/       2/     x\\ /          /     x\  x\  x
\1 + cot \2 + e //*\-1 + 2*cot\2 + e /*e /*e 

$$\left(2 e^{x} \cot{\left (e^{x} + 2 \right )} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left (e^{x} + 2 \right )} + 1\right) e^{x}$$

Третья производная

/       2/     x\\ /          2/     x\  2*x     /       2/     x\\  2*x        /     x\  x\  x
\1 + cot \2 + e //*\-1 - 4*cot \2 + e /*e    - 2*\1 + cot \2 + e //*e    + 6*cot\2 + e /*e /*e 

$$\left(\cot^{2}{\left (e^{x} + 2 \right )} + 1\right) \left(- 2 \left(\cot^{2}{\left (e^{x} + 2 \right )} + 1\right) e^{2 x} - 4 e^{2 x} \cot^{2}{\left (e^{x} + 2 \right )} + 6 e^{x} \cot{\left (e^{x} + 2 \right )} - 1\right) e^{x}$$