Производная 7^(cot(x)^(3))

Вы ввели

    3   
 cot (x)
7       

$$7^{\cot^{3}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cot^{3}{\left (x \right )}$.

2. $\frac{d}{d u} 7^{u} = 7^{u} \log{\left (7 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot^{3}{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \cot{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{3 \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cot^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{3 \cdot 7^{\cot^{3}{\left (x \right )}} \log{\left (7 \right )} \cot^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{7^{\frac{1}{\tan^{3}{\left (x \right )}}} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}} \log{\left (343 \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{7^{\frac{1}{\tan^{3}{\left (x \right )}}} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}} \log{\left (343 \right )}$

Первая производная

    3                                   
 cot (x)    2    /          2   \       
7       *cot (x)*\-3 - 3*cot (x)/*log(7)

$$7^{\cot^{3}{\left (x \right )}} \left(- 3 \cot^{2}{\left (x \right )} - 3\right) \log{\left (7 \right )} \cot^{2}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

      3                                                                                
   cot (x) /       2   \ /         2           3    /       2   \       \              
3*7       *\1 + cot (x)/*\2 + 4*cot (x) + 3*cot (x)*\1 + cot (x)/*log(7)/*cot(x)*log(7)

$$3 \cdot 7^{\cot^{3}{\left (x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (7 \right )} \cot^{3}{\left (x \right )} + 4 \cot^{2}{\left (x \right )} + 2\right) \log{\left (7 \right )} \cot{\left (x \right )}$$

Третья производная

       3                  /               2                                                         2                                   2                                                 \       
    cot (x) /       2   \ |  /       2   \         4            2    /       2   \     /       2   \     6       2         /       2   \     3                   5    /       2   \       |       
-3*7       *\1 + cot (x)/*\2*\1 + cot (x)/  + 4*cot (x) + 14*cot (x)*\1 + cot (x)/ + 9*\1 + cot (x)/ *cot (x)*log (7) + 18*\1 + cot (x)/ *cot (x)*log(7) + 18*cot (x)*\1 + cot (x)/*log(7)/*log(7)

$$- 3 \cdot 7^{\cot^{3}{\left (x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(9 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \log^{2}{\left (7 \right )} \cot^{6}{\left (x \right )} + 18 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \log{\left (7 \right )} \cot^{3}{\left (x \right )} + 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 18 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (7 \right )} \cot^{5}{\left (x \right )} + 14 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + 4 \cot^{4}{\left (x \right )}\right) \log{\left (7 \right )}$$