2cos^2x+cosx-6=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2cos^2x+cosx-6=0

Вы ввели

     2                    
2*cos (x) + cos(x) - 6 = 0

$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} - 6 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} - 6 = 0$$
преобразуем
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} - 5 = 0$$
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} - 6\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 1$$
$$c = -6$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (2) * (-6) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{3}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = -2$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-2 \right)}$$

Быстрый ответ

x1 = -re(acos(-2)) + 2*pi - I*im(acos(-2))

$$x_{1} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}$$

x2 = 2*pi - I*im(acos(3/2))

$$x_{2} = 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)}$$

x3 = I*im(acos(-2)) + re(acos(-2))

$$x_{3} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}$$

x4 = I*im(acos(3/2)) + re(acos(3/2))

$$x_{4} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 + -re(acos(-2)) + 2*pi - I*im(acos(-2)) + 2*pi - I*im(acos(3/2)) + I*im(acos(-2)) + re(acos(-2)) + I*im(acos(3/2)) + re(acos(3/2))

$$\left(\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}\right) - \left(- 4 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)}\right)\right) + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)}\right)$$

=

4*pi + re(acos(3/2))

$$\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)} + 4 \pi$$

произведение

1*(-re(acos(-2)) + 2*pi - I*im(acos(-2)))*(2*pi - I*im(acos(3/2)))*(I*im(acos(-2)) + re(acos(-2)))*(I*im(acos(3/2)) + re(acos(3/2)))

$$\left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)}\right) 1 \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)}\right)$$

=

-(2*pi - I*im(acos(3/2)))*(I*im(acos(-2)) + re(acos(-2)))*(I*im(acos(3/2)) + re(acos(3/2)))*(-2*pi + I*im(acos(-2)) + re(acos(-2)))

$$- \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{3}{2} \right)}\right)}\right) \left(- 2 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}\right)$$

Численный ответ

x1 = 3.14159265358979 + 1.31695789692482*i

x2 = 6.28318530717959 - 0.962423650119207*i

x3 = 3.14159265358979 - 1.31695789692482*i

x4 = 0.962423650119207*i

График