3cos^2x+5cosx+2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 3cos^2x+5cosx+2=0

Вы ввели

     2                      
3*cos (x) + 5*cos(x) + 2 = 0

$$3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} + 2 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} + 2 = 0$$
преобразуем
$$3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} + 2 = 0$$
$$\left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} + 2\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = 5$$
$$c = 2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (3) * (2) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{2}{3}$$
Упростить
$$w_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \pi$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n$$

Быстрый ответ

x1 = pi

$$x_{1} = \pi$$

x2 = -acos(-2/3) + 2*pi

$$x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{2}{3} \right)} + 2 \pi$$

x3 = acos(-2/3)

$$x_{3} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{2}{3} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 + pi + -acos(-2/3) + 2*pi + acos(-2/3)

$$\operatorname{acos}{\left(- \frac{2}{3} \right)} + \left(\left(0 + \pi\right) + \left(- \operatorname{acos}{\left(- \frac{2}{3} \right)} + 2 \pi\right)\right)$$

=

3*pi

$$3 \pi$$

произведение

1*pi*(-acos(-2/3) + 2*pi)*acos(-2/3)

$$1 \pi \left(- \operatorname{acos}{\left(- \frac{2}{3} \right)} + 2 \pi\right) \operatorname{acos}{\left(- \frac{2}{3} \right)}$$

=

pi*(-acos(-2/3) + 2*pi)*acos(-2/3)

$$\pi \left(- \operatorname{acos}{\left(- \frac{2}{3} \right)} + 2 \pi\right) \operatorname{acos}{\left(- \frac{2}{3} \right)}$$

Численный ответ

x1 = 85.6640703174923

x2 = 34.5575191187358

x3 = 79.3808850103128

x4 = 21.9911485851437

x5 = 16.5490319385169

x6 = -77.6987476691769

x7 = 35.3985878600557

x8 = 60.531329088774

x9 = -98.2304409318515

x10 = 59.6902604869207

x11 = -52.5660064404586

x12 = -73.0976997031332

x13 = -2.30052398302186

x14 = -8.58370929020145

x15 = -15.7079632961205

x16 = 65.9734457524321

x17 = -28.2743337881648

x18 = -91.9472556246719

x19 = 66.8145143959536

x20 = 8.58370929020145

x21 = -35.3985878600557

x22 = -58.8491917476381

x23 = -15.7079639385033

x24 = -21.9911485865055

x25 = 14.866894597381

x26 = -66.8145143959536

x27 = -54.2481437815944

x28 = -97.3893721793131

x29 = 54.2481437815944

x30 = -71.4155623619973

x31 = 71.4155623619973

x32 = 29.1154025528761

x33 = 98.2304409318515

x34 = -16.5490319385169

x35 = -53.4070751133285

x36 = -33.7164505189198

x37 = 33.7164505189198

x38 = -41.6817731672352

x39 = 28.2743338653212

x40 = -59.6902604567294

x41 = 651.150747963655

x42 = -79.3808850103128

x43 = 73.0976997031332

x44 = -10.2658466313373

x45 = 72.2566310277266

x46 = -3.98266132415772

x47 = 90.2651182835361

x48 = 41.6817731672352

x49 = 83.9819329763565

x50 = -27.4332652117402

x51 = -47.1238897980133

x52 = -22.8322172456965

x53 = -14.866894597381

x54 = 39.9996358260994

x55 = 15.7079633524546

x56 = -9.4247780070488

x57 = 52.5660064404586

x58 = -72.2566309326793

x59 = -65.9734457655097

x60 = -21.1500799045606

x61 = -85.6640703174923

x62 = -46.282821133279

x63 = -47.9649584744148

x64 = -3.14159382532808

x65 = 58.8491917476381

x66 = 2.30052398302186

x67 = 77.6987476691769

x68 = 21.1500799045606

x69 = 65.1323770548177

x70 = 27.4332652117402

x71 = -29.1154025528761

x72 = 46.282821133279

x73 = 47.9649584744148

x74 = -83.9819329763565

x75 = 3.98266132415772

x76 = -90.2651182835361

x77 = 96.5483035907157

x78 = -65.1323770548177

x79 = 10.2658466313373

x80 = -39.9996358260994

x81 = 22.8322172456965

x82 = -96.5483035907157

x83 = 91.9472556246719

x84 = -91.1061872381058

x85 = -60.531329088774

x86 = 78.5398162549916

График