5cos^2x+6sinx-6=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 5cos^2x+6sinx-6=0

Вы ввели

     2                      
5*cos (x) + 6*sin(x) - 6 = 0

$$6 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(x \right)} - 6 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$6 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(x \right)} - 6 = 0$$
преобразуем
$$- 5 \sin^{2}{\left(x \right)} + 6 \sin{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$- 5 \sin^{2}{\left(x \right)} + 6 \sin{\left(x \right)} - 6 + 5 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -5$$
$$b = 6$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(6)^2 - 4 * (-5) * (-1) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{5}$$
Упростить
$$w_{2} = 1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(1 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(1 \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$

Быстрый ответ

     pi
x1 = --
     2 

$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$

           /        ___\
x2 = 2*atan\5 - 2*\/ 6 /

$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(5 - 2 \sqrt{6} \right)}$$

           /        ___\
x3 = 2*atan\5 + 2*\/ 6 /

$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} + 5 \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi         /        ___\         /        ___\
0 + -- + 2*atan\5 - 2*\/ 6 / + 2*atan\5 + 2*\/ 6 /
    2                                             

$$\left(2 \operatorname{atan}{\left(5 - 2 \sqrt{6} \right)} + \left(0 + \frac{\pi}{2}\right)\right) + 2 \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} + 5 \right)}$$

=

pi         /        ___\         /        ___\
-- + 2*atan\5 - 2*\/ 6 / + 2*atan\5 + 2*\/ 6 /
2                                             

$$2 \operatorname{atan}{\left(5 - 2 \sqrt{6} \right)} + \frac{\pi}{2} + 2 \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} + 5 \right)}$$

произведение

  pi       /        ___\       /        ___\
1*--*2*atan\5 - 2*\/ 6 /*2*atan\5 + 2*\/ 6 /
  2                                         

$$1 \frac{\pi}{2} \cdot 2 \operatorname{atan}{\left(5 - 2 \sqrt{6} \right)} 2 \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} + 5 \right)}$$

=

         /        ___\     /        ___\
2*pi*atan\5 - 2*\/ 6 /*atan\5 + 2*\/ 6 /

$$2 \pi \operatorname{atan}{\left(5 - 2 \sqrt{6} \right)} \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{6} + 5 \right)}$$

Численный ответ

x1 = 45.553093640289

x2 = 44.1836550710474

x3 = 20.4203521528537

x4 = 34.3561612686974

x5 = 88.1659522213045

x6 = 72.0552731117749

x7 = -23.5619450050024

x8 = 97.1880143404933

x9 = 95.8185760526779

x10 = 1.57079649233428

x11 = -18.6481980007484

x12 = -85.0243595677148

x13 = 46.9225318830566

x14 = -42.4115006567342

x15 = 37.9004697638678

x16 = -80.1106125818023

x17 = -94.0464216869035

x18 = 150.9978052931

x19 = 78.3384584189545

x20 = -59.8916183389964

x21 = -54.9778712918859

x22 = 50.466840378227

x23 = -72.4579889533556

x24 = 69.3163962997658

x25 = -75.1968657653647

x26 = -6.08182738638926

x27 = -2373.47324920937

x28 = -54.9778717140461

x29 = 90.9048290333137

x30 = 64.4026493110792

x31 = 25.3340991495087

x32 = 9.22342003997905

x33 = 7.85398173660005

x34 = -29.8451300977433

x35 = 14.1371670949163

x36 = -34.7588771102781

x37 = -31.2145686151076

x38 = -62.6304951510055

x39 = -43.7809392294668

x40 = -48.6946853603799

x41 = -17.2787597493153

x42 = -141.573027332331

x43 = -174.35839215559

x44 = -53.6084330318168

x45 = -92.6769836954146

x46 = 94.4491375284841

x47 = 100.732322835664

x48 = 76.9690196062389

x49 = -73.8274272803399

x50 = 6.48454322796992

x51 = 70.6858345463261

x52 = 59.4889024974157

x53 = -87.7632363797239

x54 = 21.7897906543382

x55 = -41.0420624174576

x56 = -66.174803646176

x57 = 28.0729759615178

x58 = -15.9093211887393

x59 = -28.4756918030985

x60 = -22.1925064959189

x61 = -78.7411742605352

x62 = 58.1194639139284

x63 = 0.201357920790331

x64 = 1460.63922599846

x65 = -24.931383307928

x66 = -9.62613588155971

x67 = -81.4800510725443

x68 = -10.9955743639531

x69 = 53.2057171902362

x70 = 83.2522054761174

x71 = 19.0509138423291

x72 = 2.94023473279946

x73 = -37.4977539222872

x74 = -67.544242162486

x75 = -48.6946857017228

x76 = -50.0641245366464

x77 = 89.5353907869361

x78 = 39.2699085029996

x79 = -4.71238854636661

x80 = -36.1283154222826

x81 = -86.3937978067715

x82 = -97.5907301820739

x83 = 65.7720878045953

x84 = 32.986722588458

x85 = 15.5066053471586

x86 = -10.9955748465414

x87 = -92.6769830817893

x88 = 83.2522056317106

x89 = -68.9136804581851

x90 = 56.7500256854066

x91 = 12.7677285351495

x92 = -61.2610568946202

x93 = 51.8362788949069

x94 = 81.882766914125

x95 = 26.7035373977753

x96 = 63.0332109925862

График