a^3+a+10=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: a^3+a+10=0

Вы ввели

 3             
a  + a + 10 = 0

$$\left(a^{3} + a\right) + 10 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(a^{3} + a\right) + 10 = 0$$
преобразуем
$$\left(a + \left(a^{3} + 8\right)\right) + 2 = 0$$
или
$$\left(a + \left(a^{3} - \left(-2\right)^{3}\right)\right) + 2 = 0$$
$$\left(a + 2\right) + \left(a^{3} - \left(-2\right)^{3}\right) = 0$$
$$\left(a + 2\right) \left(\left(a^{2} - 2 a\right) + \left(-2\right)^{2}\right) + \left(a + 2\right) = 0$$
Вынесем общий множитель 2 + a за скобки
получим:
$$\left(a + 2\right) \left(\left(\left(a^{2} - 2 a\right) + \left(-2\right)^{2}\right) + 1\right) = 0$$
или
$$\left(a + 2\right) \left(a^{2} - 2 a + 5\right) = 0$$
тогда:
$$a_{1} = -2$$
и также
получаем ур-ние
$$a^{2} - 2 a + 5 = 0$$
Это уравнение вида

a*a^2 + b*a + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$a_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$a_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = 5$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (5) = -16

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

a2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

a3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$a_{2} = 1 + 2 i$$
Упростить
$$a_{3} = 1 - 2 i$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для a^3 + a + 10 = 0:
$$a_{1} = -2$$
$$a_{2} = 1 + 2 i$$
$$a_{3} = 1 - 2 i$$

Быстрый ответ

a1 = -2

$$a_{1} = -2$$

a2 = 1 - 2*I

$$a_{2} = 1 - 2 i$$

a3 = 1 + 2*I

$$a_{3} = 1 + 2 i$$

Сумма и произведение корней

сумма

-2 + 1 - 2*I + 1 + 2*I

$$\left(-2 + \left(1 - 2 i\right)\right) + \left(1 + 2 i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

-2*(1 - 2*I)*(1 + 2*I)

$$- 2 \left(1 - 2 i\right) \left(1 + 2 i\right)$$

=

-10

$$-10$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$a^{3} + a^{2} p + a q + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 1$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 10$$
Формулы Виета
$$a_{1} + a_{2} + a_{3} = - p$$
$$a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + a_{2} a_{3} = q$$
$$a_{1} a_{2} a_{3} = v$$
$$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 0$$
$$a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + a_{2} a_{3} = 1$$
$$a_{1} a_{2} a_{3} = 10$$

Численный ответ

a1 = -2.0

a2 = 1.0 + 2.0*i

a3 = 1.0 - 2.0*i

График