(x^2-6x+9)^2+2(x-3)^2=3 (уравнение)

Найду корень уравнения: (x^2-6x+9)^2+2(x-3)^2=3

Вы ввели

              2                 
/ 2          \             2    
\x  - 6*x + 9/  + 2*(x - 3)  = 3

$$2 \left(x - 3\right)^{2} + \left(x^{2} - 6 x + 9\right)^{2} = 3$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$2 \left(x - 3\right)^{2} + \left(x^{2} - 6 x + 9\right)^{2} = 3$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$\left(x - 4\right) \left(x - 2\right) \left(x^{2} - 6 x + 12\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x - 4 = 0$$
$$x - 2 = 0$$
$$x^{2} - 6 x + 12 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x - 4 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 4$$
Получим ответ: x1 = 4
2.
$$x - 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 2$$
Получим ответ: x2 = 2
3.
$$x^{2} - 6 x + 12 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -6$$
$$c = 12$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-6)^2 - 4 * (1) * (12) = -12

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{3} = 3 + \sqrt{3} i$$
Упростить
$$x_{4} = 3 - \sqrt{3} i$$
Упростить
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3 + \sqrt{3} i$$
$$x_{4} = 3 - \sqrt{3} i$$

Быстрый ответ

x1 = 2

$$x_{1} = 2$$

x2 = 4

$$x_{2} = 4$$

             ___
x3 = 3 - I*\/ 3 

$$x_{3} = 3 - \sqrt{3} i$$

             ___
x4 = 3 + I*\/ 3 

$$x_{4} = 3 + \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

                    ___           ___
0 + 2 + 4 + 3 - I*\/ 3  + 3 + I*\/ 3 

$$\left(\left(\left(0 + 2\right) + 4\right) + \left(3 - \sqrt{3} i\right)\right) + \left(3 + \sqrt{3} i\right)$$

=

12

$$12$$

произведение

      /        ___\ /        ___\
1*2*4*\3 - I*\/ 3 /*\3 + I*\/ 3 /

$$1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \left(3 - \sqrt{3} i\right) \left(3 + \sqrt{3} i\right)$$

=

96

$$96$$

Численный ответ

x1 = 4.0

x2 = 2.0

x3 = 3.0 + 1.73205080756888*i

x4 = 3.0 - 1.73205080756888*i

График