x^7=25 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^7=25

Вы ввели

 7     
x  = 25

$$x^{7} = 25$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{7} = 25$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 7 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 7-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[7]{\left(1 x + 0\right)^{7}} = \sqrt[7]{25}$$
или
$$x = 5^{\frac{2}{7}}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 5^2/7

Получим ответ: x = 5^(2/7)

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{7} = 25$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{7} e^{7 i p} = 25$$
где
$$r = 5^{\frac{2}{7}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{7 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(7 p \right)} + \cos{\left(7 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(7 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(7 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{7}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 5^{\frac{2}{7}}$$
$$z_{2} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$z_{3} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$z_{4} = 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{5} = 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{6} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{7} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 5^{\frac{2}{7}}$$
$$x_{2} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$x_{3} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$x_{4} = 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{5} = 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{6} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{7} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$

Быстрый ответ

      2/7
x1 = 5   

$$x_{1} = 5^{\frac{2}{7}}$$

        2/7    /pi\      2/7    /pi\
x2 = - 5   *cos|--| - I*5   *sin|--|
               \7 /             \7 /

$$x_{2} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$

        2/7    /pi\      2/7    /pi\
x3 = - 5   *cos|--| + I*5   *sin|--|
               \7 /             \7 /

$$x_{3} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$

      2/7    /2*pi\      2/7    /2*pi\
x4 = 5   *cos|----| - I*5   *sin|----|
             \ 7  /             \ 7  /

$$x_{4} = 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$

      2/7    /2*pi\      2/7    /2*pi\
x5 = 5   *cos|----| + I*5   *sin|----|
             \ 7  /             \ 7  /

$$x_{5} = 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$

        2/7    /3*pi\      2/7    /3*pi\
x6 = - 5   *cos|----| - I*5   *sin|----|
               \ 7  /             \ 7  /

$$x_{6} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$

        2/7    /3*pi\      2/7    /3*pi\
x7 = - 5   *cos|----| + I*5   *sin|----|
               \ 7  /             \ 7  /

$$x_{7} = - 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

     2/7      2/7    /pi\      2/7    /pi\      2/7    /pi\      2/7    /pi\    2/7    /2*pi\      2/7    /2*pi\    2/7    /2*pi\      2/7    /2*pi\      2/7    /3*pi\      2/7    /3*pi\      2/7    /3*pi\      2/7    /3*pi\
0 + 5    + - 5   *cos|--| - I*5   *sin|--| + - 5   *cos|--| + I*5   *sin|--| + 5   *cos|----| - I*5   *sin|----| + 5   *cos|----| + I*5   *sin|----| + - 5   *cos|----| - I*5   *sin|----| + - 5   *cos|----| + I*5   *sin|----|
                     \7 /             \7 /             \7 /             \7 /           \ 7  /             \ 7  /           \ 7  /             \ 7  /             \ 7  /             \ 7  /             \ 7  /             \ 7  /

$$\left(\left(- 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right) - \left(- 2 \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} + 2 \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right)\right) - \left(5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right)$$

=

 2/7      2/7    /pi\      2/7    /3*pi\      2/7    /2*pi\
5    - 2*5   *cos|--| - 2*5   *cos|----| + 2*5   *cos|----|
                 \7 /             \ 7  /             \ 7  /

$$- 2 \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 2 \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} + 2 \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$

произведение

   2/7 /   2/7    /pi\      2/7    /pi\\ /   2/7    /pi\      2/7    /pi\\ / 2/7    /2*pi\      2/7    /2*pi\\ / 2/7    /2*pi\      2/7    /2*pi\\ /   2/7    /3*pi\      2/7    /3*pi\\ /   2/7    /3*pi\      2/7    /3*pi\\
1*5   *|- 5   *cos|--| - I*5   *sin|--||*|- 5   *cos|--| + I*5   *sin|--||*|5   *cos|----| - I*5   *sin|----||*|5   *cos|----| + I*5   *sin|----||*|- 5   *cos|----| - I*5   *sin|----||*|- 5   *cos|----| + I*5   *sin|----||
       \          \7 /             \7 // \          \7 /             \7 // \        \ 7  /             \ 7  // \        \ 7  /             \ 7  // \          \ 7  /             \ 7  // \          \ 7  /             \ 7  //

$$1 \cdot 5^{\frac{2}{7}} \left(- 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right) \left(- 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right) \left(5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right) \left(5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right) \left(- 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right) \left(- 5^{\frac{2}{7}} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 5^{\frac{2}{7}} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}\right)$$

=

25

$$25$$

Численный ответ

x1 = -0.352433018561064 + 1.54410994444743*i

x2 = -1.42697215987208 + 0.687193573939351*i

x3 = -0.352433018561064 - 1.54410994444743*i

x4 = 1.58381960876658

x5 = 0.987495374049851 + 1.23828003268391*i

x6 = -1.42697215987208 - 0.687193573939351*i

x7 = 0.987495374049851 - 1.23828003268391*i

График