x^3+4x^2-11x-30=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3+4x^2-11x-30=0

Вы ввели

 3      2                
x  + 4*x  - 11*x - 30 = 0

$$x^{3} + 4 x^{2} - 11 x - 30 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{3} + 4 x^{2} - 11 x - 30 = 0$$
преобразуем
$$\left(- 11 x - \left(- x^{3} - 4 x^{2} + 8\right)\right) - 22 = 0$$
или
$$\left(- 11 x - \left(- x^{3} - 4 x^{2} - 8 + 16\right)\right) - 22 = 0$$
$$- 11 \left(x + 2\right) + \left(4 \left(x^{2} - \left(-2\right)^{2}\right) + 1 \left(x^{3} - \left(-2\right)^{3}\right)\right) = 0$$
$$- 11 \left(x + 2\right) + \left(\left(x - 2\right) 4 \left(x + 2\right) + 1 \left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \left(-2\right)^{2}\right)\right) = 0$$
Вынесем общий множитель 2 + x за скобки
получим:
$$\left(x + 2\right) \left(\left(4 \left(x - 2\right) + 1 \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \left(-2\right)^{2}\right)\right) - 11\right) = 0$$
или
$$\left(x + 2\right) \left(x^{2} + 2 x - 15\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = -2$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} + 2 x - 15 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = -15$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (1) * (-15) = 64

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = 3$$
Упростить
$$x_{3} = -5$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для (x^3 + 4*x^2 - 11*x - 1*30) + 0 = 0:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = -5$$

Быстрый ответ

x1 = -5

$$x_{1} = -5$$

x2 = -2

$$x_{2} = -2$$

x3 = 3

$$x_{3} = 3$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 - 5 - 2 + 3

$$\left(\left(-5 + 0\right) - 2\right) + 3$$

=

-4

$$-4$$

произведение

1*-5*-2*3

$$1 \left(-5\right) \left(-2\right) 3$$

=

30

$$30$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 4$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = -11$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -30$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = -4$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = -11$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -30$$

Численный ответ

x1 = -5.0

x2 = 3.0

x3 = -2.0

График