x^9=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^9=1

Вы ввели

 9    
x  = 1

$$x^{9} = 1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{9} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 9 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 9-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[9]{\left(1 x + 0\right)^{9}} = \sqrt[9]{1}$$
или
$$x = 1$$
Получим ответ: x = 1

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{9} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{9} e^{9 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{9 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(9 p \right)} + \cos{\left(9 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(9 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(9 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{9}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{5} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{6} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{7} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{8} = \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{9} = \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{5} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{6} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{7} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{8} = \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{9} = \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$

Быстрый ответ

x1 = 1

$$x_{1} = 1$$

               ___
       1   I*\/ 3 
x2 = - - - -------
       2      2   

$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
x3 = - - + -------
       2      2   

$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

          /pi\        /pi\
x4 = - cos|--| - I*sin|--|
          \9 /        \9 /

$$x_{4} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

          /pi\        /pi\
x5 = - cos|--| + I*sin|--|
          \9 /        \9 /

$$x_{5} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

            /2*pi\      /2*pi\
x6 = - I*sin|----| + cos|----|
            \ 9  /      \ 9  /

$$x_{6} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$

          /2*pi\      /2*pi\
x7 = I*sin|----| + cos|----|
          \ 9  /      \ 9  /

$$x_{7} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$

            /4*pi\      /4*pi\
x8 = - I*sin|----| + cos|----|
            \ 9  /      \ 9  /

$$x_{8} = \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$

          /4*pi\      /4*pi\
x9 = I*sin|----| + cos|----|
          \ 9  /      \ 9  /

$$x_{9} = \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                  ___             ___                                                                                                                                                            
          1   I*\/ 3      1   I*\/ 3         /pi\        /pi\        /pi\        /pi\          /2*pi\      /2*pi\        /2*pi\      /2*pi\          /4*pi\      /4*pi\        /4*pi\      /4*pi\
0 + 1 + - - - ------- + - - + ------- + - cos|--| - I*sin|--| + - cos|--| + I*sin|--| + - I*sin|----| + cos|----| + I*sin|----| + cos|----| + - I*sin|----| + cos|----| + I*sin|----| + cos|----|
          2      2        2      2           \9 /        \9 /        \9 /        \9 /          \ 9  /      \ 9  /        \ 9  /      \ 9  /          \ 9  /      \ 9  /        \ 9  /      \ 9  /

$$\left(\left(\cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}\right) - \left(- 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right)\right) + \left(\cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}\right)$$

=

       /pi\        /2*pi\        /4*pi\
- 2*cos|--| + 2*cos|----| + 2*cos|----|
       \9 /        \ 9  /        \ 9  /

$$- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$

произведение

    /          ___\ /          ___\                                                                                                                                                            
    |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 | /     /pi\        /pi\\ /     /pi\        /pi\\ /       /2*pi\      /2*pi\\ /     /2*pi\      /2*pi\\ /       /4*pi\      /4*pi\\ /     /4*pi\      /4*pi\\
1*1*|- - - -------|*|- - + -------|*|- cos|--| - I*sin|--||*|- cos|--| + I*sin|--||*|- I*sin|----| + cos|----||*|I*sin|----| + cos|----||*|- I*sin|----| + cos|----||*|I*sin|----| + cos|----||
    \  2      2   / \  2      2   / \     \9 /        \9 // \     \9 /        \9 // \       \ 9  /      \ 9  // \     \ 9  /      \ 9  // \       \ 9  /      \ 9  // \     \ 9  /      \ 9  //

$$1 \cdot 1 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) \left(- \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) \left(\cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) \left(\cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) \left(\cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}\right) \left(\cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}\right)$$

=

           4/pi\        6/pi\        6/pi\         2/pi\
-3 - 12*sin |--| + 4*cos |--| + 4*sin |--| + 12*sin |--|
            \9 /         \9 /         \9 /          \9 /

$$-3 - 12 \sin^{4}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 4 \sin^{6}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 12 \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 4 \cos^{6}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

Численный ответ

x1 = 0.766044443118978 + 0.642787609686539*i

x2 = -0.939692620785908 - 0.342020143325669*i

x3 = 0.766044443118978 - 0.642787609686539*i

x4 = 0.17364817766693 - 0.984807753012208*i

x5 = 0.17364817766693 + 0.984807753012208*i

x6 = -0.5 + 0.866025403784439*i

x7 = -0.939692620785908 + 0.342020143325669*i

x8 = 1.0

x9 = -0.5 - 0.866025403784439*i

График