Разложить многочлен на множители 4*x^2+4*x+1

Объединение рациональных выражений

1 + 4*x*(1 + x)

$$4 x \left(x + 1\right) + 1$$

Комбинаторика

         2
(1 + 2*x) 

$$\left(2 x + 1\right)^{2}$$

Разложение на множители

x + 1/2

$$x + \frac{1}{2}$$

Выделение полного квадрата

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена
$$\left(4 x^{2} + 4 x\right) + 1$$
Для этого воспользуемся формулой
$$a x^{2} + b x + c = a \left(m + x\right)^{2} + n$$
где
$$m = \frac{b}{2 a}$$
$$n = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$$
В нашем случае
$$a = 4$$
$$b = 4$$
$$c = 1$$
Тогда
$$m = \frac{1}{2}$$
$$n = 0$$
Итак,
$$4 \left(x + \frac{1}{2}\right)^{2}$$